2011年“北约”“华约”自主招生考试简单试题分析

在去年和今年的AAA测试中，都出现了一道和其他学科联系的题目，2010年五校联考出了一个生物背景的题目，2011年的七校联考则出了一个不折不扣的物理问题：

一个均匀的质量为a的杯子，里面装满水，水的质量为b，问里面装多少水的时候重心最低？

从物理意义上来分析，这个题目很显然，当重心落在水面上的时候是重心最低的时候，数学强调的是推导意义，因此只要抽象出基本的数学模型，用最简单的函数知识就可以解决。

类似于这样的问题，其实母体仍然出现在高考当中，只是较之高考，更加强调一般性问题的解决，更加强调在数学层面上的分析和推导，这和北约方数学试题的第6个题思路不谋而合。

平面上给定两个定圆，一个动圆和两个定圆相切，求动圆圆心的轨迹，并证明。

这个题目笔者在今年学而思秋季的数学课程上详细讲解过，这个题目有两个关键点，一个是处理相切时的状态，得到点之间的距离关系；一个是注意在定圆的不同位置关系下和动圆的不同相切（内切和外切）状态下有不同的结论。本题可以分很多种情况，不妨解释其中的一种：

这个问题其实在高考复习阶段，很多练习中会有一个到两个的具体例子，但是很多同学对这个问题并没有重视，这个题目就是从特殊情况（练习中的例子）到一般情况的一个拓展，学生如果平时不注重分析，这个题目往往会无法下手或者考虑情况不全，从这个意义上来说，自主招生并不是要一味求难求偏，而更强调在平时学习中能够“多想一点，多走一步”，这样的积极主动学习会给自主招生这类考试带来极大的益处。